一次揭开“神秘”的探究之旅——一道中考试题在教学中的应用(2)
作者or编辑: 网络 发布: www.7lizhi.com 时间: 2013-04-22 阅读: 次
3.横向探究“神秘数”的来源：
看到学生探究的热情一浪高过一浪，我决定再接再厉，接着引导学生思考：“同学们，数学研究与数学发现的过程往往是在否定的过程中完成的，我们对一些数学定理的条件或结论进行否定，即去思考如果不是这个条件或结论会怎样，往往会发现一些新的结论。同学们，在我们今天这个结论中我们也来尝试一下否定的方法，同学们想想，如果不是连续偶数的平方差，而是连续奇数的平方差或连续整数的平方差，结果会怎样？”我提出这个问题后，没等我发布指令，学生们已经开始埋头研究了，他们很快得到了以下结果：
对于两个连续奇数2n+1和2n-1有（2n+1）2-（2n-1）2=[（2n+1）+（2n-1）][（2n+1）-（2n-1）]=8n，即两个连续奇数的平方差是8的倍数。
对于两个连续整数n和n+1有（n+1）2-n2=（n+1-n）（n+1+n）=2n+1，即两个连续整数的平方差是一个奇数。
我提醒学生再仔细观察：“这两个式子是否还隐藏着一些像刚才S2所说的那种重要的规律？”在我的提示下，学生通过观察，调整了他们的结论：
对于两个连续奇数2n+1 和2n-1有（2n+1）2-（2n-1）2=[（2n+1）+（2n-1）] [（2n+1）-（2n-1）]=8n=
4×2n，即两个连续奇数的平方差是8的倍数，也是这两个奇数中间的偶数的4倍。 ②
对于两个连续整数n和n+1有（n+1）2-n2=（n+1-n）（n+1+n）=2n+1，即两个连续整数的平方差是一个奇数，这个奇数是这两个整数的和。 ③
显然得到的结果都不是“神秘数”。
我接着提出问题：“对于大家得到的结论①—③，是否可以不用平方差公式得到？”提出这个问题的目的是让学生复习完全平方公式，学生通过思考，想到可以用完全平方公式变形得到结论。
4.纵向探究“神秘数”的应用：
探究到此似乎可以结束了，学生们看到他们获得的三个结论也已心满意足，但教师的作用就是要尽可能地促进学生思维的发展。我接着向学生提出以下探究问题：“同学们，你们是否可以利用今天获得的结论快速计算前十个‘神秘数’的和。”通过组织学生讨论，学生得到了以下解法：4+12+20+28+36+44+52+60+68+76=22-02+42-22+62-42+…+202-182=202=400
看到学生的解答，我激动地说：“同学们，你们真棒，（青春励志歌曲 - 青春励志签名）你们现在得到的方法正是高中数列知识中的裂项求和法。看来我们今天共同探讨的结论并不仅仅是一个简单的数字规律，它们还有更深刻的数学应用价值，同学们，只要你们做个有心人，你们今后一定还能发现更多、更优美的数学结论。”随后，我给学生们留下了以下练习作为课外作业：
（1）快速计算：8+16+24+32+40+48+56+64+72+80
（2）快速计算：4+8+12+16+…+80
（3）从1开始的前n个奇数的和是多少？
经过本课的探究，相信这几道习题对多数学生来说一定能够轻松解决。
反思：
本节课的探究学习，充分调动了学生的学习兴趣，点燃了学生学习的欲望，同时开发了学生的潜能。增强思维的发散和集中，使学生在合适的活动空间里，通过自己的体验，感知外部信息，整合加工和处理，把学生思维能力的培养和训练拓展到更广阔的学习领域中，使教师的引导与学生的探究学习有机的结合在一起，从而引领学生全面的发展和进步。
涓婁竴绡囷細在实验教学中贯穿生命教育 涓嬩竴绡囷細要重视语文课外活动
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