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如何证明线面垂直,线面垂直证明方法

作者or编辑: 青春励志 发布: www.7lizhi.com 时间: 2013-05-28 阅读:

  如何证明线面垂直,线面垂直证明方法
  
  ∵PA⊥平面α,直线L∈平面α
  
  ∴PA⊥L========================①
  
  ∵PB⊥平面β,直线L∈平面β
  
  ∴PB⊥L========================②
  
  综合①②得:
  
  直线L⊥平面PAB(垂直于平面两条相交直线的直线垂直于这个平面)
  
  ∴L⊥AB(垂直于平面的直线垂直于平面内的任一直线)
  
  线面垂直的判定定理证明,我一直觉得证明过程太过复杂。前年曾经这样证明,今天写在这里。m和n为平面中两条相交直线,通过平移或者说原本就在,使得l经过m、n的交点O,我们只需证明l垂直与平面中的任意一条直线g 即可!在m、n上分别以O点为中点截取AC、BD,则得到平行四边形ABCD。此时不难由三角形全等的知识得到l⊥g。
  
  答案补充
  
  证明:已知直线L1 L22相交于O点且都与直线L垂直,L3是L1 L2所在平面内任意1条不与L1 L2重合或平行的直线(重合或平行直接可得它与L1平行) 在L3上取E、F令OE=OF, 分别过E、F作ED、FB交L2于D、B (令OD=OB)则⊿OED ≌⊿ OFB (SAS) 延长DE、BF分别交L1于A、C 则⊿OEA≌⊿OFC(ASA)(注意角AEO与角CFO的补角相等所以它们相等)。 所以OA=OC,所以⊿OAD≌⊿OBC(SAS)所以AD=CB 因为L3垂直于L1 L2所以MA=MC,MD=MB 所以⊿MAD≌⊿MCD(SSS)所以 角MAE= 角MCF 所以⊿MAE≌⊿MCF(SAS) 所以ME=MF,所以⊿MOE≌⊿MOF(SSS),所以角MOE=角MOF 又因为 角MOE与 角MOF互补,所以角MOE=角MOF=90度,即L⊥L3
  
  1利用直角三角形中两锐角互余证明
  
  由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90° ,即直角三角形的两个锐角互余。
  
  2勾股定理逆定理
  
  3圆周角定理的推论:直径所对的圆周角是直角,一个三角形的一边中线等于这边的一半,则这个三角形是直角三角形。
  
  二、高中部分
  
  线线垂直分为共面与不共面。不共面时,两直线经过平移后相交成直角,则称两条直线互相垂直。
  
  1 向量法 两条直线的方向向量数量积为0
  
  2 斜率 两条直线斜率积为-1
  
  3 线面垂直,则这条直线垂直于该平面内的所有直线
  
  一条直线垂直于三角形的两边,那么它也垂直于另外一边
  
  4 三垂线定理 在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
  
  5 三垂线定理逆定理 如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
  
  2高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑):
  
  Ⅰ.平行关系:
  
  线线平行:1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。
  
  线面平行:1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行,一个平面内的任一直线与另一平面平行。
  
  面面平行:1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。
  
  Ⅱ.垂直关系:
    
  线面垂直:1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面,那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个,那么这条直线也与另一平面垂直。
  
  面面垂直:1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线,那么这两个平面垂直
  
  线线垂直分为共面与不共面。不共面时,两直线经过平移后相交成直角,则称两条直线互相垂直。
  
  1 向量法 两条直线的方向向量数量积为0
  
  2 斜率 两条直线斜率积为-1
  
  3 线面垂直,则这条直线垂直于该平面内的所有直线
    
  4 三垂线定理 在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
  
  5 三垂线定理逆定理 如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

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